Lage zweier Geraden im Raum
Zwei Geraden im Raum können …
- identisch sein
- parallel sein
- sich schneiden
- sich nicht schneiden und nicht parallel sein
Schnitt zweier Geraden
Um den Schnitt zwischen zwei Geraden zu bestimmen geht man wie folgt vor:
- Gleichsetzen liefert ein lineares Gleichungssystem.
- Durch Lösen des Gleichungssystems lässt sich ein Parameter bestimmen.
- Einsetzen des gefundenen Wertes für den Parameter in die zugehörige Geradengleichung liefert den Schnittpunkt.
Ein LGS kann keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben und wir müssen entscheiden, was dies für unser "Schnittproblem" bedeutet.
- Fall 1 - Das LGS hat keine Lösung:
Falls beim Bestimmen der Parameter ein Widerspruch entsteht, so gibt es keinen Schnittpunkt.
- Fall 2 - Das LGS ist eindeutig lösbar:
Falls die Parameter eindeutig bestimmbar sind, so gibt es genau einen Schnittpunkt.
- Fall 3 - Das LGS hat unendlich viele Lösungen:
Falls ein Parameter frei wählbar ist, so bedeutet dies, dass die beiden Geraden identisch sind.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der beiden folgenden Geraden:
Die beiden Geradengleichungen werden gleichgesetzt:
| I. | s-t = 1 |
| II. | t = 1 |
| III. | 3s-3t = 3 |
Wir setzen t=1 aus Gleichung II. in Gleichung I. ein und erhalten s=2. Mit t=1 und s=2 ist Gleichung III. ebenfalls erfüllt (immer mitprüfen!) und es ergibt sich kein Widerspruch. Einsetzen von s=2 in die zugehörige(!) Gerade, also in g1, liefert den Schnittpunkt:
Rechenbeispiel 2
Untersuchen Sie die beiden folgenden Geraden auf Schnittpunkte und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
Die Richtungsvektoren sind linear abhängig (sie sind also Vielfache voneinander), d.h. g1 und g2 sind entweder parallel oder identisch. Falls ein Punkt von g1 auf g2 liegt, so sind die Geraden identisch. Wir testen dies, indem der Punkt P(4|8|3) (dies ist der Punkt, zu dem der Stützvektor von g2 hinführt) in g1 eingesetzt wird.
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